引言

在计算机中，浮点数和定点数是常用的数值表示方法，用于处理和表示实数（包括小数）的数值。它们在计算机中具有不同的特点和应用场景。浮点数广泛应用于科学计算、金融计算等需要大范围和高精度的任务中。然而，浮点数在表示和计算过程中存在精度等问题。在接下来的介绍中，我们将探讨浮点数的内部表示、常见问题以及处理这些问题常用的解决方案。此外，本文还总结了一些通用的浮点数测试用例，希望可以帮助大家更好地理解和验证浮点数的精度特性。希望通过阅读本文，大家能对浮点数有更清晰的认识和应用。

一、浮点数的表示

浮点数在计算机内部表示中，小数点的位置是可变的，也就是说，小数点可以"浮动"在有效数字中的任意位置，因此得名。那么，在计算机表示中，它的小数点数如何 “浮动” 的呢，一起来看看浮点数是如何表示的。
最常用的浮点数表示方法是 IEEE754，它是一种计算机浮点数算术标准，定义了浮点数的表示方法和浮点数运算规则。IEEE754 标准规定了两种浮点数格式：单精度浮点数（32 位）和双精度浮点数（64 位），分别用于表示单精度和双精度实数。

十进制转二进制

首先，我们要知道常用的十进制，在二进制的计算机世界中是怎样的。
十进制的正数部分和小数部分转换为二进制的方法是不一样的，十进制整数转二进制使用的是除 2 取余数法，十进制小数转二进制用的是乘 2 取整法。

我们举例说明一下，以十进制数 8.625 为例：
◆整数部分：将整数部分 8 转化为二进制，可以使用除 2 取余数法：
8 除以 2，商为 4，余数为 0，
将商 4 再次除以 2，商为 2，余数为 0
将商 2 再次除以 2，商为 1，余数为 0
将商 1 再次除以 2，商为 0，余数为 1。
将以上得到的余数按倒序连接起来，得到整数部分的二进制表示为：1000

◆小数部分：将小数部分 0.625 转化为二进制，可以使用乘 2 取整法：
0.625 * 2 = 1.25，整数部分为 1
剩余小数部分为 0.25。0.25 * 2 = 0.5，整数部分为 0
剩余小数部分为 0.5。0.5 * 2 = 1.0，整数部分为 1
剩余小数部分为 0。
将以上得到的整数部分按顺序连接起来，得到小数部分的二进制表示为：101
综上，8.625 的二进制表示为：1000.101

单精度浮点数

在 IEEE 754 中单精度浮点数（32 位）被拆成三个部分，分别是 sign、exponent 跟 fraction，加起来总共是 32 个 bit。下面以浮点数 0.15625 为例，看一下单精度浮点数的表示。
首先，需要将 0.15625 转化为二进制表示为 0.00101，其规格化（类似于十进制科学计数法）表示为 1.01 x 2^-3。
在分别看一下单精度浮点数三个部分的内容：
sign：即符号位，最左侧的 1 bit 代表正负号，正数的话 sign 就为 0，反之则是 1
exponent：即阶码，中间的 8 bit 代表规格化后的次方数，采用的是 超 127 格式，也就是-3 还要加上 127 = 124，转化为二进制为 1111100；整数前面补零不会影响整数的值，则不足 8 位时在前面补零，即为 01111100。
fraction：即尾数，最右侧的 23 bit 放的是小数部分，以 1.01 来说就是去掉 1. 之后的 01。小数后面补零不影响小数的值，则尾数位不足 23 位在后面补零, 即为 01000000000000000000000。
十进制数 0.15625 表示成单精度浮点数就如下图所示：

双精度浮点数

单精度浮点数只用了 32 bit 来表示，为了让误差更小，提高精准度，IEEE 754 也定义了如何用 64 bit 来表示浮点数，即双精度浮点数。跟 32 bit 比起来尾数 部分大了超过两倍，从 23 bit 变成 52 bit，对比如下图所示：

双精度浮点数相对于单精度浮点数，指数位数的增加提供了更大的指数范围，可以表示更大和更小的数值，尾数位数的增加使得双精度浮点数可以提供更高的精度，能够表示更多的有效数字位数。
双精度浮点数的表示与单精度浮点数类似，就不在赘述了。

二、浮点数存在的问题

上文中介绍了浮点数的表示方法，因为其此种表示方法，浮点数在实际应用中也存在了一些问题，下面介绍下浮点数常见的问题。

精度问题

我们先看一个在实际业务场景中出现的浮点数问题举例：
业务逻辑上会把用户填写的数字进行 *100 的操作，如果填写 2.2，传入的参数就会变成 220，如下图所示，传入的参数并不是预期的 220，因为后端解析不了这种非整数，就会导致数据提交报错，但是如果填写的是 2.5，就不会有问题。

下面来探究一下原因：
首先看一下填写的十进制数 2.2 的二进制表示：10.0011001100110011001100110011001100110011001100110011...是一个无限循环的二进制小数。那么，它也就没办法表示为一个精确的浮点数，这个不精确的浮点数在进行乘法运算后，再转化为十进制，这个过程中，误差会累积变大，最终 2.2 乘以 100 得到的结果是 220.00000000000003，而不是精确的 220。
但是，十进制数 2.5 的二进制表示为 10.1，是一个正常的二进制小数，因此它可以表示为一个精确的浮点数，经过乘法运算和十进制转化，仍是精确的 250，就不会出现上述问题。
这个问题就是浮点数最常见的问题之一的精度问题，根本原因是浮点数表示的精度有限，无法精确表示所有实数，某些十进制数可能无法准确表示为有限位数的浮点数。

舍入误差

前面的例子中有提到 2.2 的二进制表示是无限循环的，由于浮点数的尾数部分有限，转换为浮点数时就会产生舍入误差，这个也是引起上面问题的原因之一。

比较问题

由于舍入误差，浮点数的比较操作可能会产生意外的结果，在某些情况下，两个看似相等的浮点数进行比较可能得到不相等的结果。比如下面这个实际项目中的例子：
页面展示的数据计算的可开票金额=51,496.64，填写该金额后，校验不通过，系统提示 “不能大于可开票金额"，无法提交开票申请。

接口返回的数据如下图所示，并不是计算得出的预期结果 51,496.64，因此导致前端填写的数据与此数值比较时，无法验证通过。

溢出问题

我们上文中介绍浮点数表示说过，浮点数是有表示范围的，浮点数溢出就是指在浮点数计算中，结果超过了浮点数类型所能表示的范围。

不可结合性

浮点数的加法和乘法不满足结合律，因为舍入误差可能会导致不同的计算顺序得到不同的结果。如：a、b 和 c 是浮点数，(a + b) + c 和 a + (b + c) 的结果可能不相等。

解决方案

介绍了浮点数的存在的一些问题后，我们再来看看在实际项目中，解决这些问题的一些常用的方案。

使用高精度数据类型

对于需要更高精度的计算，可以使用高精度数据类型，比如现在普遍使用的 decimal，他是一种用于精确表示和计算十进制数的数据类型。
相较于其他浮点数类型（如 float 和 double），decimal 具有以下特点：
●高精度：decimal 使用固定的位数来表示数值，通常以小数点后的位数来衡量。这使得 decimal 能够提供更高的精确性和准确性。
●四舍五入：decimal 使用舍入规则，确保计算结果在保留有效位数的同时进行四舍五入，从而减少舍入误差。
●不受二进制表示误差影响：由于 decimal 使用十进制表示，而不是二进制，因此不会受到二进制浮点数表示误差的影响，提供更准确的结果。
●更广的数值范围：相较于其他浮点数类型，decimal 可以表示更广范围的数值，可以处理较大或较小的数值，同时保持精确性。

在许多编程语言中，例如 C#、Java 和 Python，都提供了 decimal 数据类型或相关的库或模块，用于处理需要高精度计算的场景。
尽管 decimal 数据类型在处理精确计算方面具有优势，但也存在一些缺点：内存占用较大、运算速度较慢、不适用于所有场景、不同编程语言和平台的兼容性问题等，在选择是否使用 decimal 数据类型时，需要权衡精度要求、计算性能和内存消耗，并结合具体的应用场景进行使用。

转化为整型运算

将浮点数乘以一个较大的倍数，然后转换为整型进行运算。在得到最终结果后，再除以相应的倍数来恢复精度。这样可以在整型范围内进行计算，并减少精度损失。

使用高精度数值库

某些编程语言提供了高精度数值库，如 Python 的 decimal 模块或 Java 的 BigDecimal 类。这些库可以提供更高的精度和控制，用于处理需要精确计算的场景。

通用测试点

总结了一下常用的测试点如下图所示，用于验证浮点数的不同场景下的处理逻辑，包括精度、边界情况和特殊值处理。

通过针对这些测试内容进行测试，希望可以帮助大家发现浮点数在不同情况下可能出现的问题，如精度损失、溢出、不可结合性等。有助于优化浮点数的处理逻辑，改进算法的准确性和效率，并确保浮点数在实际应用中得到正确处理。